「各位同學早安，今天算是正式的上第一堂數學課。」聽說今天是休假日，算了，前幾天都沒上課，今天補課學生也不能有怨言吧。

「該說的規定在上一堂課都講過了，就不浪費時間直接開始上課吧。」乾脆地翻開教科書，從最簡單的理論開始講起。

「我們這堂課要上的是排列組合與機率，排列組合跟機率這兩個大主題其實是息息相關的，雖然一般來說要分開來上，但我們時間不太多，因此都簡單介紹一下，再用簡單的例子來講解。」

「先講排列組合吧。」

「在排列組合中，最基礎也是最核心的概念是『加法原理』及『乘法原理』，不管寫什麼題目都會用到這兩項原理。」

「加法原理的定義用假設會比較好理解，假設我們需要完成一件事，例如摘花不被老師發現好了，我們有幾種辦法？」

「我們可能會想有三大類辦法，一是偷偷溜進去、二是小心的摘花、三是從看管花園的人下手。」
「偷偷溜進去不被知道的話，也許可以從圍牆翻進去或是繞小路之類的，有很多種辦法。」
「小心摘花的話，摘角落的花、摘隱密處的花，都是不同辦法。」
「對看管的人下手，那就是支開人或是趁他睡覺的時候？同樣有很多辦法。」

「如果完成一件事，只需要一種辦法就可以完成，那這就屬於加法原理，這個例子來說答案就是偷偷溜進去的辦法數，加上小心摘花的辦法，再加上對人下手的辦法數。」

「那乘法原理跟加法原理的差別，在於完成一件事需要很多步驟，同樣是剛才的例子，若偷偷摘花需要經過溜進去、摘花、騙過看管人，這個過程，那就屬於乘法原理。」

「例如，李玥同學選擇支開老師後翻牆進去花園，並在隱密處摘一朵花。這是屬於一種可能，當然也可以選擇支開老師繞路進去，在角落摘一朵花。」

「乘法原理的話，李玥同學就會有八種不同偷偷摘花的辦法了。」
「加法原理，則是李玥同學只需要翻牆進去，就能達成偷摘花這件事，因此他只需要從６種辦法內選一種就可以了。」

「因此判斷是加法或者乘法，是很重要的一件事。這裡有一道例題大家可以想想看。」畫得不太工整……算了。

「首先這道題目有很大的陷阱，鋪設時磁磚會出現『有無橫跨』的狀況，有橫跨跟沒有橫跨會出現兩大類不同的鋪法。」

「有橫跨的情況下，仍需繼續鋪設其他塊磁磚，但有橫跨跟沒有橫跨的兩類情況『是互相獨立且不干涉的』狀況。」

「所以這裡要拆分成兩大類情況。」
「接著再思考裡頭的磁磚該如何排列，而磁磚排列是互相干涉的，畢竟你選擇放了一種磁磚，那另一種磁磚就有可能放不進去對吧？」邊講邊寫了詳解。

「分類考慮，一般來說都會使用到加法原理。如果是互相關聯的一連串行為，通常都是使用乘法原理，這是判斷的大原則。」

「簡單前提先到這裡，接著要講排列組合的基礎算法。」

「n個不同物排成一列，算法是n階乘，階乘的符號是!。」
「1!為1，2!為1x2，3!為1x2x3。以此類推。」

「如果是n個不同物品取r個排成一列，位置順序會影響到結果的話，這叫做排列。」

「如果位置排序不影響結果，叫做組合。」

「但一般來說我們常用的是組合而非排列，因為組合跟排列的差別只在於『有無順序的差異』，兩者之間只差了階乘數。」

「來做一道例題吧。」

「看到題目時，首先要先冷靜審題，將關鍵字畫起。」
「6男4女、一週五天、一天兩人、至少一名男生。」
「解題的時候可以先隨意猜測亂排，聰明的同學應該發現了，怎麼排都會有一天一定是兩名男生一起值日。」

「解法是這樣，既然知道一定有一天是兩個男生一起值日，那我們先把這兩個男生從六個男生裡選出來。」在黑板上認真寫下C6取2。

「我們還需要知道兩個男生值日是在五天中的哪一天。」寫下C5取1。
「至於剩下的四男四女，因為每天都需要有一個男生，四個男生四天，沒什麼好選擇的，將四個人隨意排列進去就行了。」寫下4!。
「女生同樣。」補上最後一個四階乘，將答案迅速算出。

「基礎排列組合到這裡吧，接著要講機率。」

「其實學好了排列組合，機率就很簡單了。」敲敲黑板上方才寫下的算式，在一旁繼續寫著機率的定義。

「要學好機率最重要的是『樣本空間』的概念要好，而樣本空間的定義是一件事情中，所有可能發生的結果所形成的集合。」

「是不是很耳熟？剛才算排列組合時，不斷出現過『有幾種可能』這種問句，其實我們所算出的可能性，就是一種樣本空間。」

「像是上一個例題，假設我們指定了人、星期等等條件，例如『李玥同學跟凌清同學，在星期一同時值日的機率是多少』。」

「那我們剛才對『兩個男生值日』及『他們值日的天數』這部分的狀況便不需要選擇。」

「因此詢問機率的話，答案會變為43200種全部的可能中，有1x1x4!x4!的情況都是李玥同學跟凌清同學在星期一同時值日。」

「指定了兩位同學及星期，那便不需要在6人中取2位出來，也不需要在5天中選擇一天出來，至於其他同學的值日情況還是有所不同的，所以後面的計算不能捨去。」
「因此他們在星期一值日的機率是－－576/43200。」

「搞懂了排列組合，機率就變得很簡單了。」

「但在古典機率中，還是有兩項重點要注意。」
「第一點，即使題目說了物品外觀相同，在機率的觀點來看會將『所有物品視為不一樣的東西』，等等再用題目解釋一下。」
「第二點，雖然大家都知道，但有時候偏偏會忘記－－機率的總和必為1。」

「所謂機率都視為不同，假設現在有三顆外觀看起來相同的球，分給兩位不同的人，以人的想法來說我們只可能有得到三顆、兩顆、一顆，或沒有球的四種狀況。」
「但以機率來說，一個人有沒有拿到球的狀況則是－－有或者沒有，第一顆球有拿到或沒拿到、第二顆有或者沒有……以此類推，每顆球都有兩種可能性，因此三顆球會有八種可能。」

「那我們來說一下例題吧。」

「以最常見的猜拳遊戲當例子。」唔，恰好先前有同學問過跟猜拳相關的遊戲。

「現在有五個人猜拳，只有剪刀石頭布三種拳，不分勝負的機率為何？｣

「不分勝負指的就是至少有兩人出了相同的拳。」雖然大家都玩過猜拳，但還是將題目說得嚴謹一些。
「首先我們要先知道這個題目的樣本空間數。」

「這題很簡單，每個人都有剪刀、石頭、布，三種選擇，那五個人就會有３的五次方種可能性。」

「這題稍微複雜一點，不過也是今天的最後一道例題了。」

「我們先把分不出勝負的情況寫出來，第一種當然是五個人恰好都一樣。」

「第二種是三個人相同兩個人不同，不要問為什麼沒有四人相同一人相異或是為什麼沒有三同兩同的蠢問題吧？」四人相同剩下的本來就會不一樣，而三同兩同能分出勝負啊。

「最後一種是兩兩相同，只有一人相異，例如兩人拳頭兩人剪刀一人出布。」

「在第一種狀況下，全部人相同只有三種狀況，剪刀、石頭或者布。」

「第二種狀況呢，我們要先從五個人中挑出三人相同，再從三種拳當中挑一種，其實也是三取一，但很明顯只有三種，就直接寫３就好了。」

「剩下兩人再選剩下的兩種拳就好了。」這是２！種可能。

「最後是大家最容易出問題的狀況，先從五人中挑兩人相同，從三種拳中選一種；再從剩餘的三人中挑兩人相同，剩餘兩種拳內挑一種；最後一個人沒得挑，就一種拳而已。」

「為什麼這裡多出一個1/2!，應該是很多人會疑惑的。」

「想想看，假設現在有ABCDE五個人，你先挑了AB兩個人出來，再挑CD兩個人出來；跟你先挑CD出來再挑AB出來，結果有差別嗎？」

「－－沒有，但現在我們的算式就是把先AB後CD跟先CD後AB這兩種情況都算進去了。」

「我們先前說過乘法原理，同一件事的先後關聯會用乘法，這也是同樣的情況，然而我們不需要先選人跟後選人，因此要將多出來的排列情況修正掉。」

「這個1/2!就是為了修正計算時無法避免的排列情況。」

「時間差不多了，我們就上到這裡有問題的可以留下來問，作業大家記得拿回去寫。」

「寫完再交過來，交到辦公室或者來宿舍找我都可以。」

「還有先前說的積分獎勵辦法，會統一在公布作業成績時計算積分加總，公布後你們再紀錄下來，避免混亂請不要自行紀錄出席分數跟課堂發言等等積分。」

－－－－－－－－－－

▸ 積分計算將於公布作業成績時一同公布
（EX.XX同學，作業成績XX。獎勵積分包含出席、發言、作業繳交等，一共獎勵XX。）

公布後再請各位同學自行紀錄至積分計算。

▸ 作業繳交時限至7/16晚0時（7/16換日至7/17的時候）

▸ 同學可以在底下留言！出席與否以有沒有在課堂上留言（可與提問合併計算），
（EX.留言：同學在課堂上睡覺→只計算出席分｜留言：「老師，請問您說的排列組合……」→計算出席分及課堂發言積分）

「剛才發現標號有誤，題目為標號１～６。」考卷都印出來了來不及改。

oO(呀.....～居然是善熙最不拿手的排列組合～)一手托著下巴盯著黑板上密密麻麻的字跡，忍不住歎了口氣。

咦~~~~~~~是我眼睛和耳朵有問題嗎，好像老師剛剛講了我和小清的名字餒。

oO(ㄏㄚˊ...)小小的腦袋禁不起數學的重磅打擊

把作業的答案卷夾在講義裡，要帶回宿舍收好。

在聽完一長串的話以及看完老師寫在黑板上的題目以後，她決定先閉上雙眼讓小腦袋休息一下。

anna_910424: LiYue_Badans: IgiIgi: nanami_yukina:
在台上看同學似乎都是一臉茫然，於是待在教室看有沒有人想發問。

oO(我剛剛都聽了什麼!? )

「作業……下週再繳交吧，你們先消化一下。」

「善熙會努力寫完的....!!!」直盯著考卷，好像在跟自己下戰帖一樣。音量

滿臉疑惑。
在一旁思考。

覺得自己需要消化一下

聽不懂在發呆

oO(真的很討厭讀書呢嗚嗚...)暗自在心裡哭泣

雖然好像很認真在聽但實際腦袋正在運轉該如何解開眼前的題目。
「忘記複習了好多都不記得了呢啊哈哈、所以每個骰子的機率……分開來？诶？還是有合起來？嗯？」

oO( 排列組合...都忘記了 )
oO( 算了，總會有辦法的~！)握起筆來試著算算看。

看了作業卷之後似乎覺得有些問題，但不好意思直接大聲詢問，便默默走到講台前。

「老師，不好意思。想請問您題目（1）和（2）的一樣是連順序也要相同嗎？」

oO(我剛聽了什麼......)

因為上一堂課還算有趣這堂課也來了。

覺得自己需要休息一下。

ｏＯ（嗯？驚嘆號？這是甚麼很難的算式？）想到之前數學考卷都用猜的所以大多都看不太懂。

「.....」拿起筆試著在紙上計算。

「常虹老師！您今天也好好看！」
「這次的題目很不簡單呢，老師，如果全部答對的話可以給獎勵嗎？例如一起出去約會之類的……」
「啊、另外關於第五題，請問點數和大於10，是包含10的意思嗎？」到底為什麼認真的問題不先問。

「......」提筆開始寫216種組合。

veeeralin:
「嗯……是我解釋的不夠完整，這些題目都與一開始骰出的數字無關，只是示範骰三個骰子。像第一題只是單純指骰出111、222……的情況。」

「第二題則是113、225之類的狀況。」

「老師！！！為什麼我看到我的名字，還聽到我和小清的名字！」舉高了一隻手 「然後我看不懂 」是笨蛋。

「常虹老師，關於這次的上課內容，我有個假設性的問題想請問您。」
「在校的教師共有13個，每天我會在學校隨機見到其中3個老師，那麼、您知道我每天見到您的機率是多少嗎？」

「啊對了還有能不寫算式嗎，還是您需要以這個評分？」好像這個才是真正打算問的問題。

「第二題，連號才算嗎？212或313也算嗎？」稍稍舉起手後發問，畢竟有沒有連號也影響答案呢……

Mian_: 「不用連號沒關係，212及313都算，任意兩數字相同就好。」

「老師～答案要小數表示還是分數表示？」好像準備要寫答案了。
還在思考中。

binque0210: 看同學沉默的樣子好心提醒一下：「如果還是不會可以約課後輔導。」

anna_910424: 「善熙同學加油。」聽見台下傳來音量不小的喊聲笑了笑。

fu4cj84qjrul3: kplayer3: yokoyamatochi: mountain7491: sjmdd: shibuyarivei:
…… ……彷彿看見大家頭上的思考符號。

zoryan0807: arizono0000: kuka6918: 有人已經開始算了啊……意外的還行。

(只有看到筆在動，根本不知道同學寫了什麼。)

「老師謝謝，最後請問第二題有包含三種相同的情況嗎？」題目上寫著兩個一樣「就好」，那麼究竟是只算二同一異還是連三個相同也算呢？

yurusu516:
「每個骰子的機率是分開的。」聽到疑惑提點了一下。

veeeralin: 「包含三個相同的情況。」排列組合跟機率……這種題目果然還是會因為文字表達有歧義啊。
Oo(果然還是算式比較好懂。)不擅長用文字表達。

中/請問作業直接交在這邊嗎><（如果我有略看交作業的地方真的抱歉……）

RouRan_: /啊抱歉忘記開繳交作業區了！稍等！

「……」很安分地來上課了，但從常虹開口後就立刻趴睡著直到下課。
拿到的作業也在還不清醒時候隨意地寫下答案，連計算過程也都省略了。
趁著對方還在便把作業遞給對方，他又打了個哈欠接著離開。

「……」
看著題目覺得能解出來的可能 。

kokona0314:
Oo(椿同學還是這麼熱情啊。)

「呃，全部答對的話……可以，當作老師招待妳出去玩吧。」

「點數和大於十，不包含十本身，也就是和11～18才算數。」

LiYue_Badans:
「拿偷偷來花園摘花的同學當例子而已，不用在意。」

「哪裡看不懂？可以發問。」

kokona0314:
聽到問題後直接回答：「總共有C13取3種可能，如果要指定碰到我的話，三位老師中要包含我，另外兩位從剩下的12位中選擇，因此是C12取2種可能，碰到我的機率是3/13。」

「盡量寫算式吧，如果不想寫就算了，但要評優異的話多少還是會參考各位的算式。」

May7th:
「都可以。」簡單回覆了。

RouRan_:
看了眼從進來就直接睡覺，交完作業就離開的同學。

沒有對交上來的答卷發表任何意見，只是好好收起。

「謝謝老師，您這樣一解釋我就更明白了。」
「不過這是遇到您的機率，而我每天都能在夢裡見到您，所以機率是百分之百。」用非常正經的語氣說了很不正經的話。

「算式……我就盡量吧。」默默移開了目光寫卷子。

「真的真的？那椿要認真起來了！」
聽見老師那正面般的回答，她的目光瞬間就亮了起來，然後低下頭刷刷刷地開始寫卷子。

拿著考卷坐在底下聽講，看著有些已經開始動筆的同學。
oO（厲害⋯⋯我完全沒懂。）拿起筆試著照老師舉例的方式計算。

昨天看影集看太晚，今天整個迷茫狀態，完全沒聽到老師講了些什麼，撐著臉頰打瞌睡。

「不會寫……」名夏光是看到數字就開始想睡了。
「嗯、嗯……」七瀬已經開始眉頭做題，數學總是能讓她冷靜。

恍神了一下，剛剛的解說都沒聽到⋯呆望著手上的學習單思考該怎麼辦

kokona0314: 被油的尷尬程度

kokona0314:
「好了基維爾同學，認真寫考卷吧。」什麼每天都能在夢裡見到，太油了！

「有寫算式的話比較容易看得出同學的錯誤，改考卷的時候會幫忙看一下。」換言之覺得不會有錯或者不需要可以不必寫。

kokona0314:
看她閃亮亮的目光跟有幹勁的樣子，突然覺得給點能激勵同學的獎勵似乎不錯。

Lautumn_0807: hanami67: fivOT: RobinDog_: ccs_ener:
看有些人提筆了，但有些人仍迷茫的樣子，思考著是不是該開課後輔導。

kyo20200214:
「想睡覺還是回去睡吧，頂多沒出席分數。」

看了一下台下補充道：「張成炫同學也是，想睡就回去。」

zeitos_npc_collection:
看兩位同學完全不同的反應，覺得很有趣。

完全聽不懂也記不住老師剛才的解說，只好硬著頭皮寫了。
「老師～作業不及格的話會被當嗎？」

itoez_:
「不好說，要看寫出的內容。」其實根本不會被當。

oO(這裡是誰，我是哪，這是什麼東西？？？)
看著黑板上的算式跟手上題目陷入混亂。